Research Paper Notes on the Fluid Gravity Duality and Gradient Expansion

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Research Paper Notes on the Fluid Gravity Duality and Gradient Expansion

本文档除了包括推导,疑惑外,做读书重点的记录

参考文献

Gradient expansion

  • Asymptotic perfect fluid dynamics as a consequence of AdS/CFT, arXiv:hep-th/0512162, by Romuald A. Janik, Robi Peschanski
  • Relativistic viscous hydrodynamics, conformal invariance, and holography, arXiv:0712.2451v3, by Rudolf Baier, Paul Romatschke, Dam Thanh Son, Andrei O. Starinets, and Mikhail A. Stephanov
  • Origin of the Relaxation Time in Dissipative Fluid Dynamics, arXiv:1102.4780, by Gabriel S. Denicol, Jorge Noronha, Harri Niemi, Dirk H. Rischke

Borel sum, resurgence, and resummation

  • Divergence of the Chapman-Enskog expansion in relativistic kinetic theory, arXiv:1608.07869, by Gabriel Denicol, Jorge Noronha
  • Hydrodynamics beyond the Gradient Expansion: Resurgence and Resummation, arXiv:1503.07514, by Michal P. Heller and Michal Spalinski

Asymptotic perfect fluid dynamics as a consequence of AdS/CFT, arXiv:hep-th/0512162, by Romuald A. Janik, Robi Peschanski

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Relativistic viscous hydrodynamics, conformal invariance, and holography, arXiv:0712.2451v3, by Rudolf Baier, Paul Romatschke, Dam Thanh Son, Andrei O. Starinets, and Mikhail A. Stephanov

这就是著名的Gradient expansion.

(3.7-3.11)

首先,文章把能动张量的粘滞部分涉及到的项在满足共形对称性的前提下按导数来展开.作者共得到5项,它们是(3.7-3.9). 在根据使用上的习惯对它们进行适当的组合后,它们分别对应5个(3.11)中给出的粘滞(输运)系数.

(3.13-3.15)

从流体引力两元性,如参考Natsuume一书arXiv:1409.3575的(9.143)附近讨论中涉及的度规扰动与能动张量的关系和Kubo公式,我们得到格林函数和输运系数的关系(3.14-15).

(3.21-3.22)

另外一个确定输运系数的办法是通过格林函数的奇点的虚部,如参考Natsuume一书arXiv:1409.3575的(9.158)附近的讨论. 这里,(3.21)正是(3.19)在动量空间的极点位置.

(3.32-3.34)

文中指出,其余系数<math>\lambda_{1,2,3}</math>是无法通过与线性响应原理相关的上述两个方法得到,必须考虑非线性解. 这里,作者考虑Bjorken的解. 这里,为了求解(3.30)作者考虑用近似解(3.31)迭代得到能动张量扰动(3.32)的做法.

这里(3.33)来源不明确,原则上它应该由共形对称性决定了相应系数的量纲. 利用(3.32)与(3.33)对(3.30)积分即得(3.34).

(4.9)

这里利用上述结果,和格林函数的具体形式以得到输运系数.

(5.23)

文章的第二部分,是从玻尔兹曼方程出发,称为"弱耦合",来计算能动张量的粘滞(输运)部分.

简单的说,这时,输运系数由玻尔兹曼方程中的未知量决定.具体的,由(5.17),它涉及与碰撞项相关的积分(5.6-5.8)以及进一步的形式(5.24-5.25)和与平衡态相关的(5.16). 这些内容的具体计算,在之后Gabriel的工作中给出了更为详尽的讨论.

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Origin of the Relaxation Time in Dissipative Fluid Dynamics, arXiv:1102.4780, by Gabriel S. Denicol, Jorge Noronha, Harri Niemi, Dirk H. Rischke

本文以线性响应理论为出发点,讨论粘滞流体力学中弛豫时间的来源,指出弛豫时间其实来自于对应的格林函数在动量空间复平面上的奇点的位置和它与原点的距离. 这就是粒子物理中的共振态粒子的寿命与动量空间格林函数的虚部在输运理论格林函数中的自然的应用. 这是两元性原理中有名的结果,是与Kubo公式独立的方法,如参考Natsuume一书arXiv:1409.3575的(9.74)和(9.158)附近的讨论.

这个工作的出发点其实很简单,就是线性理论和假设理论中涉及到的延时格林函数有最简单形式的奇点. 但是讨论很有意思,涉及到Kundsen数展开,耗散流方程,空间导数展开等流体力学中的重要概念.

(10) 按文章的讨论,对力的导数和体系的宏观尺度,即体系的大小有关.而对格林函数的导数和微观尺度,即平均自由程有关.所以这个表达式可以视为用Knudsen数来展开和评判各项的大小.

(14) 这个洛朗展开,最低阶为假设的发散,加上其余高阶,各阶的系数之间有导数关系.

(15) 比较之前的方程(10),这个结果说明,流体力学中的具有弛豫时间的耗散流方程其实可以视为由延时函数的奇点的导致的.

(62-63) 对于弱相互作用偏离平衡不远的,满足可线性化的Boltzmann方程的体系,剪切粘滞系数满足(62-63),这可以视为一般线性理论方程(2)的一种特殊情况而已.

(72) 此即,延时格林的函数的奇点来自矩阵的逆阵的奇点,矩阵逆阵的极点来自矩阵行列式的奇点.

(89) 这是另外一个与AdS/CFT有关的体系,耗散流满足的方程.

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Divergence of the Chapman-Enskog expansion in relativistic kinetic theory, arXiv:1608.07869, by Gabriel Denicol, Jorge Noronha

这篇文章讨论了和已知存在的满足Bjorken不变性的解析解的玻尔兹曼方程按Knudsen数展开求解出现发散,并且提出了一个收敛的展开方法.

(4-5) 其中(5)即含迟豫时间的Boltzmann方程,而(4)可看成(5)中平衡态中温度满足的方程.

Fig.2 这里给出的结论是流体力学对应Knudsen数很小的情况(微观尺度平均自由程远小于宏观尺度体系线度),而体系演化初期和末期的自由流束对应Knudsen数很大的情况(微观尺度平均自由程大于宏观尺度体系线度).

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Hydrodynamics beyond the Gradient Expansion: Resurgence and Resummation, arXiv:1503.07514, by Michal P. Heller and Michal Spalinski

本文讨论并论证了流体力学方程解其实是动力学系统的吸引子,而非流体力学模式,对应了准正规模,这使得和AdS/CFT的物理内容具体的联系起来了.

文章首先通过在已经流体力学稳态解附近展开和数值方法,直观的说明了上述观点的可能性.

接着通过一些更复杂的数学工具来讨论.因为Borel求和在其涉及的拉普拉斯变换的积分路径中一般存在奇性,导致结果并不唯一.由于积分路径不同导致的奇点的贡献一般需要进行物理解释,故作者进而通过Transseries展开的办法更为深入的讨论了上述问题.

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