Research Paper Notes on Glauber Model

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Research Paper Notes on Glauber Model

本文档除了包括推导,疑惑外,做读书重点的记录

文献列表

  • arXiv:nucl-ex/0701025 Glauber Modeling in High Energy Nuclear Collisions
  • arXiv:1009.1847 Translation of collision geometry fluctuations into momentum anisotropies in relativistic heavy-ion collisions

arXiv:nucl-ex/0701025 Glauber Modeling in High Energy Nuclear Collisions

本文虽然为关于Glauber模型的综述性文章,但是实际上讨论实验的部分多于理论推导.但是其中一些重要的公式还是值得提取.Glauber模型分两种,光学近似实现和蒙特卡洛实现.对两种情况我们都需要计算下列物理量: (1)总反应截面 <math>\sigma_{incel}^{A+B}</math> (2)二元碰撞数 <math>N_{coll}</math> ,(3)参与核子数 <math>N_{part}</math> ,(4)核子与原子核<math>A(B)</math>的总散射截面 <math>\sigma_{incel}^{A(B)}</math> 关于散射截面的具体讨论参见Lecture Notes of Particle Physics by B.R. Martin & G. Shaw

本文主要涉及光学近似下的相应公式. 文章中使用归一后的厚度函数

<math>\begin{align}

\hat{T}_{AB}(\mathbf{b}): \int d^2\mathbf{b}\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})=1 \end{align}</math> 而非其他文献中常用的

<math>\begin{align}

&{T}_{AB}(\mathbf{b}): \int d^2\mathbf{b}{T}_{AB}(\mathbf{b})=AB \\ &{T}_{A(B)}(\mathbf{s}): \int d^2\mathbf{s}{T}_{A(B)}(\mathbf{s})=A(B) \end{align}</math>

Eq.(5)是总反应截面 <math>\sigma_{incel}^{A+B} </math>.按散射截面定义它等于

<math>\begin{align}

\int d^2\mathbf{b} P(\mathbf{b}) = \int d^2\mathbf{b} \sum_{n=1}^{AB} P(n,\mathbf{b}) \end{align}</math> <math>P(n,\mathbf{b})</math>是碰撞参数为 <math>\mathbf b</math> 时 <math>n</math> 对核子核子二元碰撞发生的概率,而两个原子核总共有 <math>AB</math> 核子对,即最多有 <math>AB</math> 对二元碰撞.对所有可能二元碰撞数求和以及对碰撞参数积分即得总反应截面,注意到对所有参与核子数求和从<math>1</math>开始而非从<math>0</math>开始.利用Eq.(4)以及

<math>\begin{align}

1=(a_1+(1-a_2))^{AB}=\sum_{n=0}^{AB}\left( \begin{array}{c} AB\\ n \end{array}\right) a_1^n(1-a_2)^{AB-n} \end{align}</math>

其中

<math>\begin{align}

a_1=a_2=\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN} \end{align}</math>

即得

<math>\begin{align}

\sigma_{incel}^{A+B}=\int d^2\mathbf{b}\left\{1-[1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN}]^{AB}\right\} \end{align}</math> 这个结果可以直观的解释如下,在碰撞参数为 <math>\mathbf b</math> 的两原子核<math>A</math>与<math>B</math>对撞过程中,至少发生一对核子核子二元碰撞的概率为 <math>1-(1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{AB}</math> ,简单的这是因为一对核子核子二元碰撞不发生的概率为 <math>(1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})</math> ,从而在总数为 <math>AB</math> 对可能的碰撞中,一次也不发生的概率为 <math>(1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{AB}</math> ,它的互补事件即至少发生一对核子核子二元碰撞的概率为 <math>1-(1-\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{AB}</math> .

Eq.(8)是核子与原子核<math>A(B)</math>散射截面 <math>\sigma_{incel}^{A(B)} </math>.它相应于任何一个核子与原子核<math>A(B)</math>发生反应的总散射截面.推导过程与Eq.(5)非常类似,只需要注意到,这时核子核子二元碰撞反应的概率改变为 <math>\hat{T}_{A(B)}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN}</math> ,而总的可能二元碰撞数目为<math>A(B)</math>.从而

<math>\begin{align}

\sigma_{incel}^{A(B)} =\int d^2\mathbf{s}\left\{1-(1-\hat{T}_{A(B)}(\mathbf{s})\sigma_{inel}^{NN})^{A(B)}\right\} \end{align}</math>


Eq.(7)是二元碰撞数 <math>N_{coll}</math> .与Eq.(5)的思路相同,它等于对所有可能反应对数乘以相应概率后求和,

<math>\begin{align}

N_{coll} =\sum_{n=1}^{AB}nP(n,\mathbf{b}) =AB\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN} \end{align}</math> 运算中利用

<math>\begin{align}

&\sum_{n=1}^{AB}n \left(\begin{array}{c} AB\\ n \end{array}\right) a_1^n(1-a_2)^{AB-n}= \sum_{n=0}^{AB} n\left(\begin{array}{c} AB\\ n \end{array}\right) a_1^n(1-a_2)^{AB-n}\\ &= a_1 \frac{\partial }{\partial a_1} (a_1+1-a_2)^{AB}=a_1AB (a_1+1-a_2)^{AB-1}=a_1AB \end{align}</math> 其中

<math>\begin{align}

a_1=a_2=\hat{T}_{AB}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN} \end{align}</math>

与之前类似,这个结果可以直观的得到.它简单的等于可能的碰撞总数乘以每个二元碰撞发生的概率

Eq.(8)是参与碰撞的核子总数 <math>N_{part}</math> .这需要重新计算,因为一个核子可能参与多个二元碰撞,但只会被记数一次,所以 <math>N_{part}</math> 小于二元碰撞数 <math>N_{coll}</math> 的两倍.定义 <math>\mathbf{b}</math> 为从<math>A</math>的中心指向<math>B</math>的中心的矢量, <math>\mathbf{s}</math> 为从<math>A</math>的中心指向二元碰撞点的矢量,从而从<math>B</math>的中心指向二元碰撞点的矢量为 <math>\mathbf{s-b}</math> .计算的技巧是考虑一个核子不与原子核<math>A</math>发生碰撞的概率,按Eq.(8)它等于 <math>(1-\hat{T}_{A}(\mathbf{s})\sigma_{inel}^{NN})^{A}</math> .因为<math>B</math>原子核中总共有 <math>B\int d^2 \mathbf{s} \hat{T}_{B}(\mathbf{s-b}) </math>个核子可能发生碰撞,我们从而得到<math>B</math>原子核中的参与二元碰撞的核子数目为 <math>B\int d^2 \mathbf{s} \hat{T}_{B}(\mathbf{s-b})[1-(1-\hat{T}_{A}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{A}] </math>.再考虑<math>A</math>与<math>B</math>的总和,我们得到

<math>\begin{align}

N_{part}= A\int d^2 \mathbf{s} \hat{T}_{A}(\mathbf{s})[1-(1-\hat{T}_{B}(\mathbf{s-b})\sigma_{inel}^{NN})^{B}]+ B\int d^2 \mathbf{s} \hat{T}_{B}(\mathbf{s-b})[1-(1-\hat{T}_{A}(\mathbf{b})\sigma_{inel}^{NN})^{A}] \end{align}</math>

Eq.(11)是蒙特卡洛实现的总反应截面,与Eq.(5)不同,我们必须对每个核子独立的计算散射概率(连乘)

<math>\begin{align}

\sigma_{incel}^{A+B}=\int d^2\mathbf{b} \prod_{i=1}^{A}\int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})\prod_{j=1}^{B}\int d^2\mathbf{s_j}\hat{T}_B(\mathbf{s_j}) \left\{1-\prod_{i=1}^{A}\prod_{j=1}^{B} [1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})]\right\} \end{align}</math>

类似的,我们得到

<math>\begin{align}

\sigma_{incel}^{A(B)} =\prod_{i=1}^{A(B)} \int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_{A(B)}(\mathbf{s_i})\left\{1-\prod_{i=1}^{A(B)} [1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-b})]\right\} \end{align}</math>

arXiv:1009.1847 Translation of collision geometry fluctuations into momentum anisotropies in relativistic heavy-ion collisions

文章讨论关于初始涨落与三角流的关系.但是有益之处是文章涉及对Glauber模型蒙特卡洛实现的具体说明.文章Eq.(4)给出了二元碰撞数目 <math>N_{coll}</math> 和参与碰撞的核子数目 <math>N_{part}</math> 的表达式.虽然总体思路与光学近似的情况类似,但是这里我们需要逐个考虑每个核子.

对于两元碰撞数 <math>N_{coll}</math> .它等于每一对独立的二元碰撞发生的概率的总和.每一对二元碰撞发生的概率为

<math>\begin{align}

\hat{T}_A(\mathbf{s}_i)\hat{T}_B(\mathbf{s}_j)\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b}) =\hat{T}_A(\mathbf{s}_i)\hat{T}_B(\mathbf{s}_j)\hat{\sigma}(\mathbf(s)) \end{align}</math> 其中引入 <math>\mathbf{s}\equiv \mathbf(s_i-s_j-b)</math>

求和后即为

<math>\begin{align}

N_{coll} =\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^{B} \int d^2\mathbf{s_i}d^2\mathbf{s_j}\hat{T}_A(\mathbf{s}_i)\hat{T}_B(\mathbf{s}_j)\hat{\sigma}(\mathbf(s)) \end{align}</math>

对于参与碰撞的核子总数 <math>N_{part} </math>.我们同样首先计算某一个核子不与原子核<math>A</math>中任何核子碰撞的概率,它等于

<math>\begin{align}

\prod_{i=1}^{A} \int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})[1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})] \end{align}</math> 它的互补事件为该核子与原子核<math>A</math>中至少一个核子发生碰撞,相应的概率为

<math>\begin{align}

\left\{1-\prod_{i=1}^{A} \int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})[1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})]\right\} \end{align}</math> 因为上述核子为原子核<math>B</math>中任一核子,故若以<math>B</math>入射时,参与反应的核子数为

<math>\begin{align}

\sum_{j=1}^B\int d^2\mathbf{s_j}\hat{T}_B(\mathbf{s_j})\left\{1-\prod_{i=1}^{A} \int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})[1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})]\right\} \end{align}</math> 最后得到

<math>\begin{align}

N_{part} =\sum_{i=1}^A\int d^2\mathbf{s_i}\hat{T}_A(\mathbf{s_i})\left\{1-\prod_{j=1}^{B} \int d^2\mathbf{s_j}\hat{T}_B(\mathbf{s_j})[1-\hat{\sigma}(\mathbf{s_i-s_j-b})]\right\}+ (A\leftrightarrow B) \end{align}</math>