Research Paper Notes on Review of Gradient Expansion in Hydrodynamics

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Research Paper Notes on Review of Gradient Expansion in Hydrodynamics

本文档除了包括推导,疑惑外,做读书重点的记录

参考文献

  • arXiv:0902.3663 [hep-ph] New Developments in Relativistic Viscous Hydrodynamics by Paul Romatschke
  • arXiv:1707.02282 [hep-ph] New theories of relativistic hydrodynamics in the LHC era by Wojciech Florkowski, Michal P. Heller, and Michal Spalinski

arXiv:0902.3663 [hep-ph] New Developments in Relativistic Viscous Hydrodynamics by Paul Romatschke

这是一篇很有名的综述.作者主要对AdS/CFT理论涉及的粘滞流体力学做出过重要的贡献.

文章首先给出了一个(过于简洁的)关于粘滞流体的基本理论的导出的综述.粘滞流体的运动方程可以从两个途径导出,熵流的热力学第二定律或者输运方程.接着文章给出新理论,所谓与ADSCFT相关的空间梯度展开粘滞流体理论.理想,一阶,两阶流体运动方程分别对应零阶,一阶,两阶梯度展开.

(33)从熵流角度导出粘滞流体一阶运动方程后,讨论其的超光速从而违反因果律的问题.

(56)从玻尔兹曼输运方程导出理想流体的运动方程.

(66)从分布函数偏离平衡态的角度,由张量对称性写出能动张量粘滞项,从而得到玻尔兹曼方程的碰撞项.(69)进而建立碰撞项与一阶粘滞流体运动方程之间的关系.

对上述分析的更好的方式是将玻尔兹曼方程进行张量展开,换言之,用张量基来对玻尔兹曼方程的两边求平均.(70)玻尔兹曼方程的一阶项给出理想流体运动方程.(71)玻尔兹曼方程的高阶项对应粘滞流体运动方程的信息.对方程的两边:(72)能动张量与(75)碰撞项分别讨论并且对比得到(76)对应粘滞流体的方程:左边与粘滞系数相关,右边与速度梯度(以及将其转化为"力"的输运系数)相关.由于方程自然的对应二阶粘滞理论,(79)其中自然的出现对应物理上的弛豫时间的项<math>\tau_\pi</math>.

(83)梯度展开理论的一个概率是,除了按梯度展开外,考虑所有不破坏共形变换的项.(101)并且如果共形变换微弱的破缺,如何影响其结果.

arXiv:1707.02282 [hep-ph] New theories of relativistic hydrodynamics in the LHC era by Wojciech Florkowski, Michal P. Heller, and Michal Spalinski

本文可以看做是上面Romatschke的综述文章的更新版本.这篇综述主要涉及的内容是如何用AdS/CFT和Boltzmann方程等微观理论在推导流体力学方程,和其中涉及到的准正规模,吸引子等问题.

文章先以微观模型以着眼点,通过线性相应理论AdS/CFT等分析给出一些一般的结果,然后通过具有Bjorken对称性的特殊问题来做具体的包括数值分析来佐证.然后,着眼于流体力学模式,回顾了宏观粘滞流体力学方程的推导,和流体力学方程的梯度展开方案.进而文章讨论了高阶梯度展开涉及到的吸引子解.文中指出梯度展开的发散问题其实和非流体力学的准正模式是紧密相关的,与前者有关的Borel变换和反变换后奇点(或者割线)造成的不确定性正对应非流体模式的解(可通过在流体方程的吸引子解附近做微扰,由微扰的方程简单得到).这就涉及到与之相关的transseries的概念.

(4.6) 这个表达式就和拓扑超导体中的例子很类似,引力理论中的微扰场(度规)的解等于外源项(乘以<math>u</math>的某个低阶幂次)加上对应算符(能动张量)的期待值乘以<math>u</math>的某个(高阶)幂次.如参见arXiv:1409.3575一文,对标量场(10.21),对引力扰动(10.51).