Research Paper Notes on the stability of ordinary differential equations

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Research Paper Notes on the stability of ordinary differential equations

本文档除了包括推导,疑惑外,做读书重点的记录 <math></math>

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  • A Polyalgorithm for the Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, ACM Transactions on Mathematical Software, 1(1975) 71–96, by G. D. Byrne and A. Hindmarsh

A Polyalgorithm for the Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, ACM Transactions on Mathematical Software, 1(1975) 71–96, by G. D. Byrne and A. Hindmarsh

我们用这篇文章作为引子来对常微分方程的稳定性问题对一个简单的回顾.

第一种不稳定性是von Neumann不稳定性,它在Numerical Recipe一书和维基页,它讨论的是由于截断误差等原因,微小误差随着数值求解过程被放大的可能性.这个过程依赖于具体的求解算法.

第二种是方程求解算法本身的收敛性.它与向前向后差分(explicit和implicit)以及硬度(stiffness)有关.维基页给出了对相关基础概念很好的说明. 首先是硬度的溯源,它大致来源于实部为负的本征值的大小差距.实部为正的本征值对应方程的解本身就是发散的,不在讨论之列. 对于具体的差分方法,上述维基页通过具体计算讨论了稳定性,A-稳定性和L-稳定性的定义和相关推导. 稳定性一般要求<math>z</math>处于复平面实部为负的某个区域内,参见欧拉方法的推导,它对应一个半径为1中心为-1的圆.因为<math>z=hk</math>,它与步长有关.步长较小时,更有可能落入稳定区域. 而A-稳定性考虑的是算法的与步长无关的稳定性条件,参见梯形算法.它仍然与衰减模型有关,对具体算法,衰减的快的模式可能收敛反而越慢. 而进一步,L-稳定性要求算法的收敛于衰减模式无关.

最后,上述多步法给出的特征多项式(characteristic polynomial)就是假设在极限情况下迭代解满足<math>y_i=C w^i</math>,代入差分算法即得.收敛的条件就是所有的<math>w</math>的根(它是<math>z,a_j,b_j</math>的函数)的模都小于1,这样在迭代下收敛. 显然,这是对欧拉法要求<math>w=1+z=1+hk</math>的模小于1的直接推广.

第三,所有上面的稳定性的讨论都基于方程的真实解本身是收敛的这个前提.但是物理中有意义的问题可能本身是不稳定,或者至少对于扰动方程是局域不稳定的. 这时,我们需要关心方程的稳定区间与算法的稳定区间一致的问题.这在上述维基页中并没有被讨论,但是是潜在的给出了分析.


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