Research Paper Notes on Stochastic Variational Method

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Research Paper Notes on Stochastic Variational Method

本文档除了包括推导,疑惑外,做读书重点的记录 <math> </math>

参考文献

  • Derivation of the Schrodinger Equation from Newtonian Mechanics, Phys. Rev. 150 (1966) 1079, by Edward Nelson
  • Stochastic calculus of variations, J. Funct. Anal. 41, (1981) 327, by Kunio Yasue
  • Application of Stochastic Variational Method to Hydrodynamics, arXiv:1111.6034v1, by Tomoi Koide
  • Navier-Stokes Equation by Stochastic Variational Method, arXiv:1105.6256v2, by Tomoi Koide and Takeshi Kodama
  • Uncertainty Relations in Hydrodynamics, arXiv:2010.15226v1, by G. Gonçalves de Matos, T. Kodama, and T. Koide

Derivation of the Schrodinger Equation from Newtonian Mechanics, Phys. Rev. 150 (1966) 1079, by Edward Nelson

这是第一篇从SDE, Fokker-Planck方程出发,推导薛定谔方程的工作.

(1-2)

这里引入了时间方向上对未来和过去的平均导数的定义.这个定义的引入基于以下出发点.

第一,随机运动过程,比如马可夫链,是不可导的,但可以通过引入概率上平均的手续来化解这个困难. 第二,对给定时刻,向未来的各种运动可能是随机的,我们可以计算相关物理量的期待值. 但是时间上的过去方向确是已知和确定的,相关物理量不为零,且不存在讨论其期待值的数学基础. 第三,作者希望引入对时间方向对未来的平均导数,以及对过去的平均导数,并尝试用两者的平均来作为时间导数的定义. 第四,为了实现对过去方向上的平均导数,我们必须重新写出时间反演后的运动方程. 第五,对运动方程的经典确定性部分,参考以下对(6)以及(8-9)的讨论,对于耗散体系,系统没有时间反演不变性,所以上述时间反演后的运动方程不是平庸的. 第六,对运动方程的随机力部分,反演后方程的随机力形式上是完全不同的.具体的,其因果律倒置,但在取概率平均的计算中反而得到平凡的结果.

(6)

这是指对系统时间反演后对应的SDE.这里保守力方向不变,但耗散力反向.两个布朗运动对应的随机力是互相独立的,与其"过去"的运动轨迹无关.

正如作者指出,由运动方程组(4ab)所决定的耗散随机系统显然没有时间反演不变的特性. 换言之保守系统的运动方程在时间反演下不变,而耗散系统的运动方程不会在时间反演变化下不变,其中对应耗散力的项改变符号. 不难注意到,上述时间反演的对称性完全由运动方程中经典决定论的部分决定,并不依赖于与运动方程中对应随机运动的部分. 具体的,我们先略去(4b)等式右边的第三项随机力部分,对运动方程系统(4ab)做时间反演变化<math>t\to -t\equiv -\tilde t</math>.

对运动方程(4a),它被改写为<math>\frac{dx(-\tilde t)}{d(-\tilde t)}=v(-\tilde t)</math>,因为方程左边<math>x(-\tilde t)</math>就是把(4a)的解<math>x(t)</math>的自变量做了换元,故<math>\frac{dx(-\tilde t)}{d(-\tilde t)}=-\frac{dx(-\tilde t)}{d\tilde t}=-\frac{d\tilde x(\tilde t)}{d\tilde t}=-\tilde v(\tilde t)=v(-\tilde t)</math>,最后一步代入了方程右边,其中定义了函数<math>\tilde x(t)\equiv x(-t)</math>,<math>\tilde v(t)\equiv\frac{d\tilde x(t)}{dt}=-v(-t)</math>.我们可以把上述方程完全用新定义的变量<math>\tilde x, \tilde v, \tilde t</math>写为<math>\frac{d\tilde x(\tilde t)}{d(\tilde t)}=\tilde v(\tilde t)</math>,显然保持了(4a)形式不变.

对运动方程(4b),它被改写成<math>\frac{dv(-\tilde t)}{d(-\tilde t)}=-\beta v(-\tilde t)+K(x(-\tilde t))</math>.我们同样尝试完全用上述定义的变量<math>\tilde x, \tilde v, \tilde t</math>来重写变换后的方程,我们得到<math>\frac{d\tilde v(\tilde t)}{d\tilde t}=+\beta \tilde v(\tilde t)+K(\tilde x(\tilde t))</math>.很显然,形式上仅耗散项改变了符号.

我们指出,显然,对于决定性系统时间反演变换后的运动方程与变换之前的运动方程是完全等价的. 本文讨论的情况的特殊之处是加入了随机力,它的最简单情况是马可夫链模型. 因为该作用力由上一时刻的运动状态决定,所以在时间反演前后,这一项在数学形式上是不等价的. 但由于随机性的原因,我们仍然相信这样所得到的系统演化形式是等价的,换言之,所得的解(具体说是分布函数的方程的解,参见arXiv:2010.15226v1方程(23-26))是一致的.

(8-9)

按上述(1-2)以及(6)的讨论,这里分别给出了速度的时间方向上对未来和过去的平均导数的结果. 注意到,如果是非耗散体系,那么对相同位置<math>x=\tilde x</math>,它们的导数完全相同(!),意味着上述定义中并没有引入任何多余的负号. 具体的,(2)中的时间变量<math>t</math>其实是<math>\tilde t</math>,但分子分母中可能存在的额外负号总是相互抵消的.

(10)

形式上,这个结果的验证只需把(7)代入(8-9)后再代入(10)的等式左边即得. 具体的,按上面的讨论,这里似乎有歧义,因为方程(8)和(9)对应的函数和自变量都是不同的. 如果换回原函数和自变量,那么方程的确定性部分不变.而按arXiv:2010.15226v1的讨论,由于随机力的因果律的倒置,其实方程的确定性部分也必须改变其形式.

(11)

这里文中定义了位置,速度,以及加速度.


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Stochastic calculus of variations, J. Funct. Anal. 41, (1981) 327, by Kunio Yasue

第一篇提出SVM的工作.

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Application of Stochastic Variational Method to Hydrodynamics, arXiv:1111.6034v1, by Tomoi Koide

作为会议综述,Tomoi讨论了混沌变分原理和流体力学方程的推导的总体思路.

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Navier-Stokes Equation by Stochastic Variational Method, arXiv:1105.6256v2, by Tomoi Koide and Takeshi Kodama

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Uncertainty Relations in Hydrodynamics, arXiv:2010.15226v1, by G. Gonçalves de Matos, T. Kodama, and T. Koide

本文的一些推导比较具体.

(13)

这是时间反向演化的SDE. 这个方程与Nelson一文的方程(6)物理意义一样,但是数学形式上有个本质区别. 这里方程中的时间自变量<math>t</math>,并非<math>\tilde t</math>,后者的增加意味着真实时间的减小<math>dt < 0</math>. 而在这里<math>t</math>必须沿着时间减小的方向演化,否则运动方程中的随机运动部分无法按定义给出计算. 若非如此,我们就无法要求(23-24)是同一个(或者完全等价的)方程,否则两个方程中的时间变量并不是同一个参数.

按之后(25-26)的结果,比较Nelson一文的讨论. 我们可以得到这样的结论,只要存在随机运动<math>\nu\ne 0</math>,即便对经典部分为守恒系统的情况,时间反演后的速度的确定性部分也是不同的. 这部分的改变主要来自对随机运动部分的因果律的修改. 这是个不平庸的结果.

(21-24)

这是从分布函数的演化方程,即Fokker-Planck方程的角度来讨论时间反演前后的SDE(11)和(13)的等价性.

(25-26)

如果要求(23-24)是完全等价的方程,那么(25)只能差一个散度为零的项,这一项就是(25)等式右边最后一项,即某任意量的旋度.

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